【现代数学】现代数学入门知识整理（1）

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1. Sigma代数与拓扑空间

   （1）sigma代数 对集合的交集、并集、差集、可数交集、可数并集运算都是封闭的。

（2）拓扑空间

关于同胚的概念，实际上就是上课老师所讲的，拓扑就是整形手术，不管如何的膨胀或者压缩，都能保持它的拓扑结构。所以对于甜甜圈、一个碗和一个带尾巴的水杯来讲，甜甜圈与带尾巴的水杯更接近，因为都是一个球环，而一个碗怎么膨胀或者压缩都是只是一个球。

（3）横向理解

1. 布尔巴基学派的结构论：序结构、代数结构和拓扑结构

   简单直观地描述如下： 以实数为例， 实数可以比较大小，也就是定义一个元素x小于或等于另一个元素y，比如记为：xRy，它满足一些公理： （1）对任何x，xRx； （2）由xRy和yRx可以推出x=y； （3）xRy且yRz推出xRz。 满足这组公理的集合为有序结构。

同时，实数可以进行加减乘除（除数不为0），所以它们满足域公理，这是代数结构。

还有，实数由邻域、开集等概念，由此可以引出极限、连续等等概念，这就是拓扑结构（即满足拓扑空间的公理）。

有些集合只有一两个结构，比如素数集合只有序结构；整数集合没有拓扑结构；矩阵只有代数结构。

1. 代数结构

http://sparkandshine.net/algebraic-structure-primer-group-ring-field-vector-space/

群环域的理解，加法、乘法、交换律、分配律、结合律、单位元、逆元等等概念；

1. 拓扑结构

   下面这一段论述比较令人满意： 相关概念：开集、闭集、邻域、极限、连续、边界、路径等； 拓扑将最直观的现象与最抽象的概念联系在一起，如何定义普遍使用的概念开集、闭集和连续则需要本质的最深刻的洞察。

（1）开集：最早开区间(a,b)，如何推广到二维空间或者更高维空间，或者别的形体上？最直观的想法就是一个不包含边界的集合，可是问题是给一个集合，何为边界？在拓扑学中Open Set开集是最根本的概念，它是定义在集合运算的基础上的，要求开集符合这样的条件：开集的任意并集和有限交集仍未开集：有限交、任意并封闭。这样定义的一个很重要的意义在于：它保证了开集中每个点都有一个邻域包含在这个集合内---所有点都和外界（补集）保持距离。这样的理解应该比使用集合运算的定义有更明晰的几何意义，但却不容易直接形成严谨的定义，使用集合运算更为严格。而集合运算定义中，任意并集的封闭性是对这个几何特点的内在保证。

（2）连续函数Continuous Function，一个最为常见的定义是对任意的epsilon > 0，存在delta > 0，使得......，背后最直观的意思就是足够近的点保证映射到任意小的范围内。epsilon和delta都依赖于实空间，不在实空间的映射怎么办？而拓扑的定义为如果一个映射的值域中任何开集的原像都是开集，那么它连续。这里就没有epsilon什么事儿了。开集的原像是开集。

（3）邻域。这里的关键在于，拓扑学中，开集的最重要意义就是要传递邻域的意思：开集本身就是所含点的邻域。这样连续定义就顺理成章了。稍微把说法调节一下，上面的定义就变成了对于f(x)的任意邻域U，都有x的一个邻域V，使得V中的元素都映射到U中。连续函数、度量空间中的连续映射都是这个定义的特例。

（4）拓扑。这里可以感受到开集在拓扑学中有根本性的意义，既然开集传达了邻域的意思，那么，它最重要的作用就是要表达哪些点靠得比较近。给出一个拓扑结构，就是要指出哪些是开集，从而指出哪些点靠得比较近，这样就形成了一个聚集结构---这就是拓扑。

（5）关于度量。可是这也可以通过距离来描述，为什么要用开集呢？反而不直观了。某种意义上说，拓扑是定性的，距离度量是定量的。随着连续变形，距离会不断变化，但是靠近的点还是靠近，因此本身固有的拓扑特性不会改变。拓扑学研究的就是这种本质特性：连续变化中的不变性。

（6）紧性Compactness。描述一个空间或者一个集合“紧不紧”。正式的定义是如果一个集合的任意开覆盖都有有限子覆盖，那么它是紧的。保证了无限序列中存在极限点。Compact在分析中有着无比重要的作用，关系到极限的存在性。有界数列必然存在收敛子列。

在学习拓扑，或者其它现代数学理论之前，我们的数学一直在有限维欧式空间之中，那是一个完美的世界，具有一切良好的属性，Hausdorff, Locally compact, Simply connected，Completed，还有一套线性代数结构，还有良好定义的度量，范数，与内积。可是，随着研究的加深，终究还是要走出这个圈子。这个时候，本来理所当然的东西，变得不那么必然了。

两个点必然能分开？你要证明空间是Hausdorff的。
有界数列必然存在极限点？这只在locally compact的空间如此。
一个连续体内任意两点必然有路径连接？这可未必。

一切看上去有悖常理，而又确实存在。从线性代数到一般的群，从有限维到无限维，从度量空间到拓扑空间，整个认识都需要重新清理。而且，这些绝非仅是数学家的概念游戏，因为我们的世界不是有限维向量能充分表达的。当我们研究一些不是向量能表达的东西的时候，度量，代数，以及分析的概念，都要重新建立，而起点就在拓扑。

1. 几个空间：向量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间、内积空间、希尔伯特空间， 度量空间，拓扑空间

   

现代数学的一个特点就是以集合为研究对象，这样的好处就是可以将很多不同问题的本质抽象出来了，变为同一个问题，坏处是描述起来比较抽象： 研究集合，每个人感兴趣的角度不同，研究的方向也就不同。为了能够有效地研究集合，必须给集合赋予一些结构，从一些具体问题中抽象出来的结构，这也就是上面所提到的三大结构：序结构、代数结构和拓扑结构。

从数学的本质来看，最基本的集合有两类：线性空间（有线性结构的集合）和度量空间（有度量结构的集合）。

对线性空间来讲，主要研究集合的描述，直观地说就是如何清楚地告诉别人这个集合是什么样子。为了清除描述，引入了基的概念，所以对于一个线性空间来讲，只要知道基即可，集合中的元素只要知道其在给定基下的坐标即可。

但线性空间中元素没有长度，为了量化线性空间中的元素，在线性空间引入特殊的长度，即为范数。赋予了范数的线性空间被称为赋范线性空间。

但赋范线性空间中两个元素之间没有角度的概念，为了解决该问题，在线性空间中引入了内积的概念。

有了度量，所以可以在度量空间、赋范线性空间以及内积空间中引入极限，但抽象空间中的极限与实数上的极限有很大的不同就是，极限点可能不在原来给定的集合中，引入了完备的概念，完备的内积空间就是Hilbert空间。

这几个空间的关系是： 线性空间与度量空间是两个不同的概念，没有交集； 赋范线性空间就是赋予了范数的线性空间，也是度量空间，具有线性结构的度量空间。 内积空间上的内积可以诱导范数，故是赋范线性空间； 只有当赋范线性空间空间上的范数满足平行四边形法则的时候，赋范线性空间构成内积空间。 希尔伯特空间是完备的内积空间； 巴拿赫空间Banach是完备的赋范线性空间；

赋范线性空间中的范数满足：
（0）一元函数；
（1）正定性；
（2）齐次性；
（3）三角不等式。

度量空间的度量d满足：
（0）二元函数；
（1）正定性；
（2）对称性；
（3）三角不等式。

度量空间中一个非常重要的巴拿赫不动点定理: 核心是构造迭代映射作为序列，从而实现一系列的证明过程：

1. 勒贝格测度与积分

   测度的引入是将区间长度概念的推广，希望构造这样一个映射m，能够将实数集合的子集E映射为非负实数mE，称这样的映射（集函数）为集合E的测度。那么最理想的情况应该是m具有以下性质： （1）mE对于实数集的所有子集E都有定义； （2）对于一个区间I，mI应当等于其长度（短点数值之差）； （3）如果${E_n}$是一列不相交的集合，并且m在其上有定义，那么$m(U E_n)=\Sigma mE_n$; （4）m具有平移不变性，即如果一个集合E使得mE有定义，则集合E+y（定义为${x+y |x \in E}$，即将E的每个元素各加上一个实数y所得到的集合）满足m(E+y)=mE。

但这样的映射是不存在的，退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射：勒贝格测度就是满足后三条性质的例子。

勒贝格外测度的概念：

这个概念的理解就是找到一列空间内闭立方体，这列闭立方体的集合能够包含E，而所有这样闭立方体集合的下确界就是勒贝格外测度。实际上就是相对于一个区域，从外部不断地去收缩，收缩到完全贴近为止额的极限情况，这就是外测度名字的由来。

看看书本上的定义吧： 要重点理解两个东西，一个就是开区间覆盖，一个就是下确界，开区间覆盖就是找到一列开区间，这列开区间的并能够包含住E，这样的集合应该很多，也可以很大，但是下确界只有一个，那就是m*E。从大到小去逼近，即从外部逐渐靠拢的感觉。

再看一下内测度，就是从内部往外逼近的过程。 这个定义的合理性证明的关键在于I是E的开区间覆盖，则E交(I-E)为空集，则外测度满足可加性：m(E)+m(I-E)=m*(I)。

1. 实数的完备性

   在书本中的概念说明如下： 命题1：确界存在公理：有上（下）界的非空实数集合一定存在上（下）确界：

命题2：实数的列紧性：有界实数列存在收敛子列：

命题4：单调有界定理：单调有界数列存在极限：

命题5：有限覆盖定理：闭区间的开覆盖，存在则有限多个：

命题6：实数的完备性，柯西收敛准则：实数列是收敛列当且仅当它是柯西列：

命题7：闭区间套定理：闭区间列，相互嵌套，逐渐靠近，存在唯一点x0使得闭区间列的并集为{x0}：

1. 算子理论：线性泛函

   算子这一概念起源于代数运算，定义为：线性空间$X$映射到线性空间$Y$，且对于任意的$x，y$都满足线性映射，即$A(\alpha x+\beta y)=\alpha Ax+\beta Ay$，则称$A$为线性算子。

当值域Y为R或者C时，称为实或者复线性泛函，A记为f，并记为$f\in A’$。

线性算子的有界性和连续性：连续性的定义没有区别，对任意的${x_n}$若$x\rightarrow x_0$，则$Txn\rightarrow Tx_0$，对X中任意的x在x点连续，则称T为线性连续算子。但是有意思的是对于赋范线性空间的X，Y，T连续的充分必要条件是T在$x=\theta$处连续。

证明过程如下： 对于必要性显然成立； 下面证明充分性： 不妨设xn, x0（n=1,2,…），xn的极限为x0，那么xn-x0的极限为0，从而因为T在x=0点连续，T(xn-x0)的极限为T0，因为线性算子将零元映射为零元，从而T(xn-x0)的极限为0。因为Tx0为固定的，所以可得Txn的极限为Tx0。则线性算子T在x0处连续。由x0的任意性，T连续。

以下几个概念非常重要，其核心就在于==T连续== == ==T有界== == ==T在某个位置连续== == ==开集的原像是开集== == ==闭集的原像是闭集==

求导运算不是连续线性算子，因为对于$f_n(x)=x^n$来讲，它的导数为$f’_n(x)=nx^{n-1}$，当$x=1$，定义范数为无穷范数，则无界，故不连续。

更进一步地，如何构造一个线性有界算子空间呢？

紧扣定义：赋范线性空间，有界线性算子，上确界。

证明很简单，从定义出发，齐次性与正定性显然满足，而三角不等式，从这个定义的T的范数就可以带入进去计算，从X，Y的赋范线性空间属性的三角不等式可以推出这里的三角不等式。

关于算子，其实就是要把它的作用方式写出来，然后各自求范数，判断其大小关系，从而找出一个合适的确界。

1. 关于连续、极限、邻域、收敛、逐点收敛、一致收敛、一致连续、同构等概念的梳理

(1) 同构

集合的对等：若X和Y之间存在双射，则X和Y对等，或者等势。

度量空间的同构：存在满设$π：X\rightarrow Y$，使得映射过去后距离d相等。等距同构必然是单射，不然会映射到同一个点。

拓扑空间的同构：拓扑同胚，X，Y为拓扑空间，$f:X\rightarrow Y$为双射，若$f:X\rightarrow Y$和$f^{-1}:Y\rightarrow X$都是连续映射，则$f:X\rightarrow Y$为拓扑同胚。

希尔伯特空间同构：存在线性满射T，任意的两个元素的像的内积与该元素的内积相等，也就是保持内积；

(2) 点集间的距离，内积空间的最佳逼近概念

点集间的距离：目的是将几何概念（距离）和拓扑概念（闭性、收敛性）统一起来，从而不再加以区分拓扑和几何---定义中的下确界：

内积空间的最佳逼近：由于Hilbert空间（有限维度和无限维度）都存在不唯一的正交规范基，有了垂直的概念，点到闭子空间的距离可以转化为两点之间的距离。 最佳逼近点存在，且唯一，最佳逼近点就是垂足，垂足就是最佳逼近点。

###（3）关于收敛： （a）数列的收敛：

（b）函数列的收敛1：点点收敛，要点是N依赖于x的选取，不同的x可能对应不同的N，所以它不够强，点点收敛不能保持连续性：

（c）函数列的收敛1：一致收敛，要点是N不依赖于x的选取，存在N对所有的x都满足，所以它很强，一致收敛能够保持连续性：

（d）度量空间上的收敛性：：

（e）拓扑空间上的收敛性：要点是更加抽象，用的是任意邻域来刻画，没有距离的概念，相对于前面的数域上的度量，这个是最深刻的定义，极限不一定存在，存在也不一定唯一：

（f）赋范线性空间的共轭空间：收敛与弱收敛，有限维赋范线性空间收敛与弱收敛等价，弱收敛的定义使用了赋范线性空间的共轭空间，即为X上的线性有界泛函全体构成的Banach空间，x*中都是算子，确切地为函数，线性有界。

（f）希尔伯特空间的共轭空间：收敛与弱收敛，与赋范线性空间的弱收敛定义不同，其实也不能称之为不同，而是其特例，线性泛函可以由内积来定义，所以，希尔伯特空间的弱收敛定义为xn对任意的y的内积极限等于x与y的内积，xn弱收敛于x。

莱斯表示定理实际上刻画的就是通过内积形式构造希尔伯特空间的线性有界泛函，通过有界以及线性有界算子空间的定义，可以推出等距的特性。即$||f_{x_0}||=||x_0||$。

###（4）关于连续： （a）C[a,b]: 闭区间连续性 首先某点连续的概念： 然后是函数连续，其实就是每个点都连续，这个定义在后面还有。

一致连续，最强，闭区间的连续性不加区分，而开区间来讲，连续不能推出一致连续：f(x) = 1\x, x在(0,1)，它是连续的，但不是一致连续。： 一致连续刻画的是足够小的区间映射到任意小的区间。

（b）度量空间刻画连续映射与开映射：承上启下，承接上面连续函数，开启下面更为抽象的拓扑空间的连续性，这里的在x0连续使用的是一致连续的定义方式：将x0足够小的开球映射到任意小的开球内

一个开起来比较奇怪的刻画就诞生了：开集的原像是开集，闭集的原像是闭集。

（c）拓扑空间刻画连续映射与开映射：这非常抽象的概念实际上就是连续函数和度量空间中连续性映射的推广，描述的是f(x)的任意邻域的原像都在x的邻域内，等效为x的足够小的邻域映射到f(x)任意小的邻域，重点为利用邻域进行刻画

（d）线性算子的有界性与连续性刻画：除了连续函数、度量空间连续映射、拓扑空间连续映射中的连续性，对于线性算子来讲，只需要在某一点连续即可，只需要有界即可

（e）可测函数与函数连续性的关系： 开集E上的连续函数是可测函数； 可测集合上的连续函数是可测函数；

###（5）关于闭集、开集、邻域、内点、聚点、闭包、边界点与孤立点、开球、闭球等刻画： （a）度量空间中的点集：

不太容易理解的是导集，刻画的是聚点集合，而聚点刻画的是它的任意小的开球与A除去它之后有交集。所以，内点肯定符合这个定义，对于开集来讲所有的点都是内点，也都是聚点，而对于闭集来讲，需要导集包含在A中，刻画的就是闭性。而孤立点和边界点就比较好理解了，孤立点就是该元素存在一个开球与A的交集就只有该元素，可不就是孤立的嘛！对于边界点则刻画为该元素的任意小开球与A和A的补都相交。这种刻画虽然比较抽象，可是却十分深刻和准确。

（b）拓扑空间中的邻域、开集、闭集等概念： 邻域是开球概念的自然延伸，是构成拓扑空间的基本要素： X的拓扑中存在包含x的元素V，V包含在X的一个子集U中，这个子集U就是x的邻域，而子集U的全体构成了x的邻域系。

邻域的性质： 拓扑空间的聚点与孤立点概念：与度量空间的相似，聚点从任意小的开球变为了任意的邻域，孤立点表示存在邻域除了该元素后没有交集：

开集与闭集：开集直接在拓扑空间的定义中：

那么对于闭集的定义实际上也是跟度量空间中的是类似的：包含所有聚点的集合，以及开集的补。

1. 关于有界、确界、收敛、极限以及完备性等相互关系说明：

   ###（1）在实数的完备性中： 实数的完备性确界存在公理：有上（下）界的非空实数集合一定存在上（下）确界；单调有界数列存在极限；任意实数可以表示为一列有理数的极限；有界实数列存在收敛子列；实数列是收敛列，当且仅当它是柯西列；

记住，这些结论只在集合是数列的情况下适用，对于抽象集合，则没有这些结论。

这个目前还是先不写了，有些概念的理解还不够深入，无法抽象出来，再轮一遍课件吧！

2019-01-07 14:46 张朋艺

2019-01-08 10:43 张朋艺

2019-01-09 16:20 张朋艺